Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
- MichalStajszczak
- Posty: 9476
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Za szybko zepsułeś zabawę, bo to jest niestety prawidłowa odpowiedź.
W takim razie pytanie nieco trudniejsze w tym samym settingu:
Każdy z tych stu żetonów układamy na losowych polach (oczywiście każdy na innym). Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie trafi na właściwe pole?
A jakie byłoby prawdopodobieństwo, że żaden nie trafi na właściwe pole, gdyby tych pól i żetonów było nie 100 lecz 1000?
- PytonZCatanu
- Posty: 4565
- Rejestracja: 23 mar 2017, 13:53
- Has thanked: 1701 times
- Been thanked: 2144 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
1. Ja swoją odpowiedź zamieściłem w spoilerze i uprasza się na przyszłość też tak robić
2. Napiszecie krótkie wyjaśnienie jak wyszła ta 1/2? Trudno mi sobie to wyobrazić
2. Napiszecie krótkie wyjaśnienie jak wyszła ta 1/2? Trudno mi sobie to wyobrazić
Garść statystyk z BGG | Moje TOP 100 - stan na 1.01.2024
- ArnhemHorror
- Posty: 502
- Rejestracja: 01 maja 2013, 23:09
- Lokalizacja: NibyLandia
- Has thanked: 329 times
- Been thanked: 161 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 11:39 Każdy z tych stu żetonów układamy na losowych polach (oczywiście każdy na innym). Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie trafi na właściwe pole?
A jakie byłoby prawdopodobieństwo, że żaden nie trafi na właściwe pole, gdyby tych pól i żetonów było nie 100 lecz 1000?
Spoiler:
Ostatnio zmieniony 15 kwie 2023, 12:08 przez ArnhemHorror, łącznie zmieniany 1 raz.
W życiu jest miejsce na jedynie 3 2 1 LCGi.
- MichalStajszczak
- Posty: 9476
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Obawiam się, że musisz policzyć wolniej i może "poza głową"
- MichalStajszczak
- Posty: 9476
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Słuszny wniosek - dlatego też napisałem, że BartP "za szybko popsuł zabawę"PytonZCatanu pisze: ↑15 kwie 2023, 11:45 Ja swoją odpowiedź zamieściłem w spoilerze i uprasza się na przyszłość też tak robić
- eson83
- Posty: 78
- Rejestracja: 06 mar 2023, 15:11
- Lokalizacja: Wrocław
- Has thanked: 8 times
- Been thanked: 5 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 11:39 W takim razie pytanie nieco trudniejsze w tym samym settingu:
Każdy z tych stu żetonów układamy na losowych polach (oczywiście każdy na innym). Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie trafi na właściwe pole?
Spoiler:
MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 11:39 A jakie byłoby prawdopodobieństwo, że żaden nie trafi na właściwe pole, gdyby tych pól i żetonów było nie 100 lecz 1000?
Spoiler:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Eee czyli załóżmy że mamy przestrzeń wszystkich losowych rozłożeń. Prawdopodobieństwo zero oznaczałoby, że wśród nich nie ma ani jednego który by spełniał powyższe założenie. A to chyba nie jest prawda.eson83 pisze: ↑15 kwie 2023, 12:32MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 11:39 W takim razie pytanie nieco trudniejsze w tym samym settingu:
Każdy z tych stu żetonów układamy na losowych polach (oczywiście każdy na innym). Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie trafi na właściwe pole?Spoiler:MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 11:39 A jakie byłoby prawdopodobieństwo, że żaden nie trafi na właściwe pole, gdyby tych pól i żetonów było nie 100 lecz 1000?Spoiler:
Więc obstawiałbym, że jest to liczba większa od 0.
- MichalStajszczak
- Posty: 9476
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Nie neguję tego. Aktualnie jestem na pewnym wydarzeniu i z doskoku patrzyłem. Jak będę miał chwilę to zastanowię się jak to policzyć. Teraz jedynie znalazłem moment by ogarnąć Twoją zagadkę i wyjaśnić, że to na pewno nie jest 0.
- PytonZCatanu
- Posty: 4565
- Rejestracja: 23 mar 2017, 13:53
- Has thanked: 1701 times
- Been thanked: 2144 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Ale jak tam wychodzi 1/2?
Garść statystyk z BGG | Moje TOP 100 - stan na 1.01.2024
- Abizaas
- Posty: 1048
- Rejestracja: 13 wrz 2020, 14:03
- Lokalizacja: Poznań
- Has thanked: 617 times
- Been thanked: 760 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 11:39 Każdy z tych stu żetonów układamy na losowych polach (oczywiście każdy na innym). Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie trafi na właściwe pole?
Spoiler:
MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 11:39 A jakie byłoby prawdopodobieństwo, że żaden nie trafi na właściwe pole, gdyby tych pól i żetonów było nie 100 lecz 1000?
Spoiler:
https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement
- MichalStajszczak
- Posty: 9476
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Jest polska wersja artykułu o Nieporządku i podsilni.
Dla dwóch żetonów to prawdopodobieństwo jest 50%, dla trzech 33,3%, dla czterech 37,5%, dla pięciu 36,7% a później dość szybko zbiega do 1/e = 36,8% więc dla 100 i 1000 różnica jest niewielka.
- MichalStajszczak
- Posty: 9476
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Generalnie dla każdej liczby żetonów n>1 mamy 50%. Można to udowodnić "rekurencyjnie", analizując kolejne liczby od 2 wzwyż.
Dla n=2 wynik jest oczywisty.
Dla n=3 mamy 3 możliwości ulokowania żetonu numer 1. Jeżeli trafi na pozycję 1, to drugi i trzeci zajmą swoje miejsca. Czyli dla ostatniego mamy 100% szans na właściwe położenie. Jeżeli żeton 1 trafi na pozycję 3, to żeton 3 ma zero szans, żeby tam się znaleźć. (Tak jest zresztą dla każdego n - gdy pierwszy żeton trafia na pozycję 1, n-ty żeton ma 100% szans na właściwą pozycję, a gdy pierwszy zajmie miejsce n-tego, to 0%.) A co będzie, gdy żeton 1 trafi na pozycję 2? Wtedy żeton 2 ma do wyboru dwa miejsca: 1 i 3, z prawdopodobieństwem 50% dla każdego z nich. Mamy zatem 1/3 * 100% + 1/3 * 50% + 1/3 * 0% co daje 50%.
Dla n=4 przypadki trafienia żetonu 1 na miejsce 1 i ostatnie dają efekt analogiczny jak dla n=3 z tą tylko różnicą, że teraz każdy z tych przypadków ma po 1/4 szans na zaistnienie. Jeżeli żeton 1 trafi na pozycję 3, to żeton 2 zajmie swoje miejsce i mamy opisana wyżej sytuację z trzema żetonami. Jeżeli żeton 1 trafi na pozycję 2, to od tej chwili żeton 2 przejmuje rolę żetonu 1 i znowu możemy sprowadzić to do układu trzech żetonów. A zatem w obu tych "pośrednich" sytuacjach mamy po 50% szans na to, by ostatni żeton zajął właściwe miejsce.
To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla każdej kolejnej wartości n.
Można też przeprowadzić rekurencję od końca. Załóżmy, że żeton 1 trafił na pozycję n-1 czyli w podstawowej wersji 99. Wtedy wszystkie żetony od 2 do 98 trafiają na swoje miejsca. A żeton 99 może z prawdopodobieństwem 50% trafić na miejsce 1 (i wtedy żeton 100 zajmuje swoja pozycję) albo z prawdopodobieństwem 50% na miejsce 100 i wtedy ostatni żeton nie może tam się znaleźć. A teraz załóżmy, że żeton 1 trafia na miejsce n-2 czyli 98. Żetony 2-97 zajmują oczywiście swoje pozycje, a żeton 98 może zając miejsca 1, 99 i 100. Dwa skrajne przypadki dają oczywisty rezultat, a zajęcie przez żeton 98 miejsca 99 sprowadza problem do sytuacji, gdy miejsce 99 zajął żeton 1.
Możesz znaleźć inne rozwiązania zadania (w oryginalnej formie z pasażerami samolotu, a nie żetonami) wpisując w wyszukiwarkę:
One hundred people line up to board an airplane. Each has a boarding pass with assigned seat. However, the first person to board has lost his boarding pass and takes a random seat.
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Zrobiłem tak samo. Obliczyłem Dla 2, 3 i 4. I uznałem, że nie ma żadnych powodów by dla większych n miało być inaczej.MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 15:17Generalnie dla każdej liczby żetonów n>1 mamy 50%. Można to udowodnić "rekurencyjnie", analizując kolejne liczby od 2 wzwyż.
- PytonZCatanu
- Posty: 4565
- Rejestracja: 23 mar 2017, 13:53
- Has thanked: 1701 times
- Been thanked: 2144 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Mega ciekawy filmik
Planszówki, chwazi i matematyka
Garść statystyk z BGG | Moje TOP 100 - stan na 1.01.2024
- MichalStajszczak
- Posty: 9476
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
- MichalStajszczak
- Posty: 9476
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
W dzisiejszej maturze z matematyki jest zadanie powiązane z grami
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1/4 . Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego
-
- Posty: 130
- Rejestracja: 07 cze 2021, 04:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 81 times
- Been thanked: 52 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Ostatni raz coś wspólnego z probabilistyką miałem na studiach, w związku z czym mogę gadać głupoty, ale:
Spoiler:
- citmod
- Posty: 715
- Rejestracja: 11 gru 2014, 15:50
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 103 times
- Been thanked: 103 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Tak tylko zauważę, że wyszła Ci znacznie wyższa szansa na wygranie większości partii tj. 4 z 5 partii (Tobie wyszło 68%) mimo, że szansa na wygranie pojedynczej partii jest <50% (dokładnie 25%). Zastanów się i spróbuj ponownie